|Breve História da Teoria de Anéis Siberiana| #2 – Os fundadores da Teria de Anéis em Novosibirsk (V.3, N.11, P.3, 2020)

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Esta é a segunda parte da série. Recomenda-se ler a primeira parte inicialmente.

Iniciaremos recordando que, em 1957, proeminentes matemáticos e físicos russos como Sergey Khristianovich (1908–2000), Mikhail Lavrentev (1900–1980) e Sergei Sobolev (1908–1986) tiveram a ideia de organizar um ramo siberiano da Academia Soviética de Ciências. Essa ideia foi apoiada pelo líder russo da época, Nikita Khruschev. Como resultado, o governo russo decidiu criar cerca de 20 institutos de pesquisa acadêmica, juntamente com a Universidade Estatal de Novosibirsk (NSU) e construir uma cidade especial, agora conhecida como Akademgorodok, próxima a Novosibirsk.

 

Assim, foi fundado em 1957 o Instituto de Matemática de Novosibirsk (atualmente Sobolev) por Sobolev, que foi seu diretor até 1983. Ele convidou Anatoly Malcev da Faculdade de Pedagogia de Ivanovo (próxima à Moscou) para organizar um departamento de álgebra e lógica matemática. Alexei Gainov, orientando de Malcev na Faculdade de Pedagogia de Ivanovo, mudou-se junto com ele, para Novosibirsk em 1960.

 

Malcev foi orientando de um grande matemático russo, Andrei Kolmogorov (1903-1987), que reconheceu seu primeiro resultado, o teorema da localidade (compacidade) na lógica matemática, como o início de um novo ramo da matemática. Esse reconhecimento foi bem fundamentado. Posteriormente, Malcev foi reconhecido como “um homem que mostrou o caminho da lógica para a álgebra” (Abraham Robinson). A propósito, Malcev se formou na Universidade Estatal de Moscou (MSU), na Faculdade de Mecânica e Matemática, a “mehmat”, em 1931 e começou a trabalhar na Faculdade de Ivanovo nesse mesmo ano. Ele estudou lógica e filosofia matemática na MSU, onde provou o teorema da localidade da lógica matemática em 1934 e enviou um manuscrito com a demonstração deste para Kolmogorov. Como resultado, Kolmogorov convidou-o imediatamente para cursar álgebra na MSU (o que foi uma surpresa para Malcev). Malcev defendeu seu PhD na MSU em 1937 (sobre a teoria dos grupos abelianos) e sua  Livre Docência no Instituto de Matemática de Steklov, em Kazan, em dezembro de 1941 (sobre a teoria das representações das álgebras de dimensão infinita e de grupos infinitos), tendo Nikolai Chebotaryov (1894-1947) (Kazan) e Tartakovskii (1901–1973) (Leningrado) como membros da banca. Aliás, Sobolev foi o diretor do Instituto de Matemática de Steklov durante a Segunda Guerra Mundial (o Instituto teve que mudar de Moscou para Kazan em 1943, Sobolev foi o primeiro vice-diretor do Laboratório N2 da Academia de Ciências da URSS[1], agora Instituto de Pesquisa Nuclear Kurchatov).

 

Em álgebras não associativas, Malcev é conhecido pelo Teorema de Levi-Malcev para álgebras de Lie e como criador da teoria das álgebras de Malcev e das álgebras de Lie binárias. Ele também fez contribuições profundas para a teoria dos grupos de Lie. No que diz respeito às álgebras associativas, ele foi um dos autores do teorema de Malcev-Wedderburn para álgebras associativas de dimensão finita, um dos precursores, junto com Oystein Ore da teoria de imersão de anéis em corpos de torção (e de semigrupos em grupos), um dos autores da construção do anel de divisão de Malcev-Newman, e um dos precursores da teoria de representações de álgebras infinitas (e grupos infinitos) por matrizes sobre corpos. A coletânea dos seus artigos foi publicada em dois volumes.

 

Além de Malcev, Sobolev convidou Shirshov, um pupilo de Aleksandr Kurosh (1908–1971), da Universidade Estatal de Moscou para ser o primeiro vice-diretor do novo instituto. Sem dúvida, o convite teve o apoio de Malcev que conhecia muito bem o trabalho de Shirshov. Malcev havia sido membro da banca de Livre Docência de Shirshov, na MSU em 1958, e ficou muito impressionado com sua tese; na verdade, no dia da defesa Malcev se referiu à tese de Shirshov como “brilhante” (outro membro da banca foi Viktor Glushkov (1923-1982) (Kiev), um proeminente especialista em álgebra e cibernética. Naquela época, os colegas dele estavam tentando verificar alguns dos cálculos de Shirshov usando computadores).

 

Vale a pena mencionar, que Shirshov foi o primeiro vice-diretor da Faculdade de Mecânica e Matemática (a “mehmat”) da MSU (o diretor era A. Kolmogorov).

 

Novosibirsk era a região natal de Shirshov, ele havia nascido em Kolyvan e crescido em Aleisk, pequenas cidades próximas (na escala siberiana) a Novosibirsk. Além disso, ele estudou por um ano (1939-1940) na Universidade Estatal de Tomsk, que também era próxima a Novosibirsk, e começou sua carreira como professor de ensino médio em Aleisk. A propósito, Shirshov foi professor de ensino médio por 7 anos no período de 1940-1950, com interrupção de três anos, 1942-1945, para a Segunda Guerra Mundial. Shirshov se formou pela Faculdade de Pedagogia de Voroshilvograd (Lugansk) por educação à distância em 1949. Ele começou seu doutorado na MSU em 1950, defendeu seu PhD em 1953.

 

Shirshov é conhecido por suas contribuições às teorias de álgebras de Lie livres (teorema de Shirshov-Witt para subálgebras, palavras de Lyndon-Shirshov, lema da composição de Shirshov, (composition-diamondlemma) e bases de Gröbner-Shirshov), às PI-álgebras (o teorema da altura de Shirshov), às álgebras de Jordan e álgebras alternativas (solução do problema de Kurosh e o teorema para álgebras de Jordan especiais). Os resultados de Shirshov relacionados à álgebras alternativas e de Jordan foram publicados em um livro junto com os alunos dele: Zhevlakov, Shestakov e Slinko [2].

 

Shirshov teve cinco orientandos na MSU: Leonid Bokut (1937–. . .), Georgii Dorofeev (1938–2008), Evgenii Kuzmin (1937–2010), Viktor Latyshev (1934–2020) e KonstantinZhevlakov (1937–1972) (formados pela MSU em 1958–1961). Dentre estes, três (Kuzmin, Zhevlakov e Bokut) deixaram Moscou para ir a Novosibirsk com Shirshov, enquanto os outros dois permaneceram em Moscou. Foi grande a quantidade de alunos do Instituto de Matemática, da Universidade Estatal de Novosibirsk, da Universidade Estatal de Moscou e da Faculdade Pedagógica de Moscou: I. Shestakov, A. Slinko, A. Nikitin, I. Miheev, R. Roomeldi (1949–1999), A. Markovichev (orientandos de Zhevlakov, e após sua morte, orientandos de Shirshov); V. Filippov (1948–2001), F. Kerdman, Sh. Kasymov, O. Saudi (orientandos de Kuzmin); S. Pchelintsev (orientando de Dorofeev); V. Barbaumov, S. Pikhtilkov, M. Abish (1940-2013), I. Guseva, T. Gateva, V. Borisenko, N. Iyudu, V. Schigolev (orientandos de Latyshev); I. L’vov (1947–2003), G. Kukin (1948–2004), Yu. Maltsev, A. Yagzhev (1950–2001), V. Kharchenko, A. Ananin, E. Zjabko, V. Gerasimov, Ts. Dashdorzh, R. Gonchigdorzh, A. Grishkov, A. Urman, V. Talapov, B. Tarasov, G.  Kryazhovskikh, A. Valitskas, O. Bobkov, V. Vdovin, A. Chehonadskikh, A. Stern, A. Vais, N. Nesterenko, A. Sidorov, E. Petrov, A. Kolotov, A. Kemer, E. Zelmanov, V. Kulchinovskii, E. Poroshenko, P. Kolesnikov, E. Chibrikov, I. Firdman, I. Dolguntseva (orientandos de Bokut). A próxima geração da escola de Shirshov inclui V. Zhelyabin (orientando de Shestakov e Slinko); Yu. Medvedev, A. Iltyakov, O. Smirnov, U. Umirbaev, I. Isaev, S. Sverchkov, V. Skosyrskiї (1956–1995), S. Polikarpov, N. Pisarenko, S. Vasilovskii (orientandos de Shestakov); A. Pozhidaev (orientando de Filippov); A. Kanel-Belov (orientando de Pchelintsev); A. Koryukin (orientando de Kharchenko), e muitos outros.

 

Houve muita atividade em álgebra e lógica em Novosibirsk e na URSS nos anos 1960. Alguns algebristas e lógicos conhecidos visitaram Malcev e seu grupo em Novosibirsk nos anos 1960: PyotrNovikov (Moscou), Alfred Tarsky (Berkeley), Bernhard Neumann (Canberra), Lev Kaluzhnin (Kiev), Dmitry Suprunenko (Minsk), Viktor Glushkov (Kiev), Boris Plotkin (Riga), Vladimir Andrunakievich (Kishinev), Lev Skornyakov (Moscou), Sergei Adyan (Moscou), Alexei Kostrikin (Moscou), Vladimir Platonov (Minsk), Valentin Belousov (Kishinev), Alfred Shmelkin (Moscou), Lev Shevrin (Sverdlovsk), YuryRyabuhin (Kishinev), Vladimir Arnautov (Kishinev). Em 1963 ocorreu o 5^o Colóquio de Álgebra da URSS em Novosibirsk, organizado por A. Malcev. Malcev também foi o coordenador da seção de álgebra do Congresso Internacional de Matemática de Moscou (1966). Houve ainda uma Conferência de Topologia da URSS em Novosibirsk em 1967, coordenada por Malcev.

 

ÁLGEBRAS ALTERNATIVAS

 

Zhevlakov foi para Novosibirsk após sua graduação pela MSU em 1961. Em sua dissertação de mestrado, Zhevlakov provou um resultado muito apreciado. Ele provou um teorema análogo ao teorema para álgebras alternativas de Nagata–Higman (–Dubnov–Ivanov): a solubilidade de qualquer álgebra alternativa com uma identidade xⁿ = 0 de característica p > n (ou p = 0). Após mudar-se para Novosibirsk em 1961, ele estava tentando resolver o problema análogo para álgebras de Jordan, mas ainda não havia chegado a hora desse problema; ele foi resolvido para característica 0 por EfimZelmanov 30 anos depois (em 1991); para característica maior que 2n, foi resolvido por Skosyrskiї e Zelmanov (em 1983) somente no caso das álgebras de Jordan especiais. Kuzmin e Zhevlakov gastaram cerca de dois anos tentando resolver este problema. Algumas vezes ele acreditava ter encontrado uma solução positiva, outras vezes acreditava que havia encontrado um contraexemplo para o problema. Mas todas as vezes, Zhevlakov encontrou um erro em seus raciocínios. Finalmente, Malcev e Shirshov convenceram-no a abandonar este problema. Malcev tentou convencer Zhevlakov de que a teoria estrutural de anéis, por exemplo, alternativos, era um assunto bom e respeitável. É interessante lembrar que os primeiros orientandos entre os de Shirshov gostavam mais dos problemas combinatoriais de teoria de anéis do que dos problemas estruturais. Provavelmente foram influenciados pelos lindos artigos combinatoriais de Shirshov. Malcev estava tentando mudar esse ponto de vista unilateral. É importante ressaltar também que o livro “Structureofrings” de Nathan Jacobson foi muito importante para todos os membros do grupo de teoria de anéis de Novosibirsk. Como resultado dessa mudança, pudemos ver uma combinação harmoniosa dessas duas teorias nos artigos de Zhevlakov e Kuzmin sobre teoria estrutural de álgebras alternativas e álgebras de Malcev, e posteriormente em artigos de Shestakov, Filippov, Grishkov e Pchelintsev sobre a mesma classe de álgebras e sobre álgebras de Lie binárias e (−1, 1)-álgebras, e finalmente nos trabalhos de Zelmanov sobre teoria estrutural de álgebras de Jordan e de Lie com aplicações brilhantes à teoria de grupos.

 

Zhevlakov progrediu rapidamente na teoria estrutural das álgebras alternativas, incluindo a estrutura das álgebras artinianas alternativas e a existência do radical de Jacobson na classe das álgebras alternativas, então ele defendeu seu PhD em 1965 e sua Livre Docência em 1967, logo após a morte de Malcev. Seu trabalho foi apoiado por Sergei Novikov, vencedor da Medalha Fields em 1970, e do prestigiado prêmio Lenin Komsomol, também em 1970. Zhevlakov atraiu para a teoria de anéis um grupo de estudantes, incluindo L’vov, Maltsev, Kukin, Slinko, Nikitin e Shestakov. Os três primeiros logo se tornaram orientandos de Bokut e participaram com ele do seminário “Anéis Associativos e Álgebras de Lie”, e os outros três participaram do seminário de Zhevlakov sobre anéis não associativos. É importante mencionar que na época da qual tratamos (anos 1960), existia uma hierarquia de seminários. Em primeiro lugar estava o seminário “Álgebra e Lógica” dirigido por Malcev antes de sua morte, depois o seminário “Teoria de Anéis” dirigido por Shirshov, e dois seminários de estudantes sobre teoria de anéis.

 

Shestakov fez grande progresso na teoria das álgebras alternativas, especialmente em álgebras alternativas livres (a última publicação é um resumo de sua Livre Docência, de 1978). Ele provou que o posto básico de uma variedade de álgebras alternativas é infinito. Em um artigo conjunto (1990), Shestakov e Zelmanov descreveram superálgebras alternativas primas sobre um corpo de característica 6= 2, 3, e aplicaram este resultado em uma prova da nilpotência do radical de Jacobson de qualquer álgebra alternativa livre sobre um corpo de característica 0. O último resultado foi uma solução do problema de Zhevlakov. Depois disso, Shestakov terminou a descrição de todas as superálgebras alternativas primas sobre um corpo de característica 2 e 3.

 

Muitos resultados para álgebras alternativas também foram provados por Dorofeev, Pchelintsev, Filippov, Iltyakov, Medvedev, entre outros. Entre esses resultados podemos indicar alguns mais interessantes: Medvedev provou que um loop periódico é localmente finito se for imersível em uma PI-álgebra alternativa (1976); também construiu um exemplo de variedade de álgebras alternativas sobre um corpo de característica 2 sem nenhuma base finita de identidades (1980). Iltyakov provou que a variedade de álgebras alternativas finitamente geradas tem uma base finita de identidades (1991) [os últimos dois resultados são análogos à Propriedade de Specht]. Iltyakov também descreveu subvariedades da variedade de álgebras alternativas de dois passos solúveis (1982) e encontrou uma base de álgebra alternativa livre com 3 geradores (1984). Pchelintsev, usou o teorema da altura de Shirshov, para provar um teorema análogo ao da altura para as álgebras alternativas (1984); provou que a soma de duas álgebras alternativas solúveis é uma álgebra alternativa solúvel [este resultado é análogo ao teorema de Kegel para as álgebras alternativas] (1985). Smirnov provou um teorema análogo ao de Cohn para as álgebras alternativas (1990).

 

ÁLGEBRAS DE JORDAN

 

As álgebras conhecidas como álgebras de Jordan apareceram pela primeira vez no trabalho de matemáticos Alemães, por volta do ano de 1934. Após a Segunda Guerra Mundial, o uso do nome “álgebras de Jordan” foi proibido na URSS, por isso, em alguns textos da época aparece a denominação “J-álgebras”, para denominar esta teoria. Por exemplo, num famoso artigo do Shirshov sobre a prova de especialidade de álgebras de Jordan com dois geradores foi usado o termo “J-álgebras” (1956).

 

Alguns radicais da classe das álgebras de Jordan (especiais) foram estudados por Slinko. Ele provou que o radical de Baer (inferior) é localmente nilpotente nas álgebras de Jordan especiais, e o radical de Levitzki (localmente nilpotente) é um ideal hereditário na classe das álgebras de Jordan.

 

A classe das álgebras de Jordan especiais não é uma variedade, de acordo com Paul Cohn, mas é uma quasivariedade. Sverchkov provou que esta quasivariedade não pode ser definida por um número finito de quasiidentidades. Este é um resultado análogo ao famoso resultado de Malcev (1940) para a classe dos semigrupos imersíveis em grupos.

 

A “Revolução Russa nas álgebras de Jordan” [3] (essas foram as palavras de Kevin McCrimmon) foi feita por Efim Zelmanov no final dos anos 1970, início dos anos 1980. Seus primeiros resultados foram provados antes da morte de Shirshov. Ele preencheu uma lacuna de longa data na teoria das álgebras de Jordan com condições mínimas, provando que o radical de Jacobson é nilpotente nestas álgebras (1978). Zelmanov provou nilpotência local em nilálgebras de Jordan de índice limitado (1979), esse resultado havia sido provado anteriormente por Shirshov (1957) para álgebras de Jordan especiais. Na época, ele havia descrito as álgebras de Jordan com divisão, dando uma resposta positiva para um problema do Jacobson de longa data (1979). Ele também descreveu as álgebras de Jordan primárias sem nilideais não nulos (1979). Alguns desses resultados de Zelmanov foram anunciados por Bokut na Conferência sobre Anéis com Divisão, em Oberwolfach, 1978. Bokut entregou uma transcrição de sua palestra para George Bergman e ele enviou para Jacobson. Possivelmente essa foi a primeira informação sobre os resultados de Zelmanov a chegar para os matemáticos do ocidente. Posteriormente, Jacobson palestrou sobre os primeiros resultados de Zelmanov a respeito da teoria estrutural das álgebras de Jordan. Ele também palestrou sobre o teorema de Skosyrskiї, que fala sobre o radical de Levitzki de uma álgebra de Jordan especial. Em três anos, Zelmanov havia terminado sua “revolução de Jordan” e havia escrito sua Livre Docência “Sistemas de Jordan e Álgebras de Lie simples graduadas”. Ele defendeu sua Livre Docência com sucesso no Conselho de Ciência, avaliado por Dmitry Faddeev e Zenon Borevich, da Universidade Estatal de Leningrado, em 1985. O último capítulo de sua Livre Docência foi “Problemas tipo Burnside: Álgebras Algébricas” (álgebras de Jordan algébricas e álgebras de Lie algébricas). Foi um comec¸o para suas ideias sobre nilálgebrasde Lie (Engel) e finalmente para o problema restrito de Burnside para grupos finitos, que foi terminado com sucesso em mais 4 anos e resultou numa Medalha Fields recebida em 1994.

 

Muitos resultados para álgebras de Jordan foram provados por Skosyrskiї, Medvedev, Vasilovskiї, Sverchkov, Zelmanov e outros no anos 1980. Vamos indicar alguns resultados mais interessantes. Skosyrskiї encontrou uma relação ente a nilpotência da álgebra alternativa à direita e a álgebra de Jordan relacionada a ela (1979); também descreveu todas as álgebras de Jordan primitivas (1991). Umirbaev mostrou a indecidibilidade do problema das palavras para a variedade das álgebras de Jordan (1985). Sverchkov provou que cada álgebra de Jordan de dois passos solúvel é especial (1983) e que todas as álgebras de Jordan fortemente associativas e todas as imagens homomórficas delas são especiais (1988). Shestakov provou que a álgebra envelopante multiplicativa de uma PI-álgebra de Jordan finitamente gerada especial é também uma PI-álgebra (1983). Cinco anos depois, Medvedev provou este mesmo resultado para todas as álgebras de Jordan (1988). Medvedev provou que um divisor de zero absoluto em uma álgebra de Jordan finitamente gerada, gera um ideal nilpotente. Um dos trabalhos de Medvedev foi baseado nos resultados e métodos dos seus estudos anteriores de A-álgebras de Jordan. Em particular, ele provou: Uma álgebra de Jordan livre com mais de dois geradores não é prima e tem centro não nulo. Zelmanov e Vais estabeleceram a Propriedade de Specht para as PI-álgebras de Jordan finitamente geradas (1989). Vasilovskiї encontrou uma base de identidades para álgebras de Jordan de uma forma bilinear simétrica (1989).

 

No próximo episódio da série, conheceremos o desenvolvimento das outras álgebras não associativas e o desenvolvimento de outras teorias na escola siberiana, finalizando nossa história. Não percam!

 

[1] URSS: União das Repúblicas Socialistas Soviéticas, ou simplesmente, União Soviética, existiu como estado no período de1922 a 1991.

 

[2] K. A. Zhevlakov; A. M. Slinko; I. P. Shestakov; A. I. Shirshov. Rings that are nearly associative. Translated from the Russianby Harry F. Smith.  Pure and Applied Mathematics, 104.  Academic Press, Inc.  [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], NewYork-London, 1982. xi+371 pp. ISBN: 0-12-779850-1

 

[3] K. McCrimmon. The Russian revolution in Jordan algebras. Algebras Groups Geom. 1 (1984), no. 1, 1-61.

 

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 

1 L. A. Bokut. Early history of the theory of rings in Novosibirsk. Bul. Acad. S¸tiint¸eRepub. Mold. Mat. 2017, no. 2 (84), 5–23